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Old Jul 15, 2009, 7:33pm   #21
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Originally Posted by GrmBl3 View Post
Also, wenn 1000 Leute schätzen, was in dem Glas drin ist und man davon dann den Mittelwert bestimmt, dann ist dieser Wert mit sehr sehr großer Wahrscheinlichkeit näher dran an dem richtigen Wert, als wenn wenn nur einer schätzen würde.
paar schnelle definitionen:

Ein tipp ist das einmalige "raten" einer person.
Die Menge aller tipps sei X.
Der wirkliche wert, dh der wert, der wirklich im glas ist sei S.
Der mittelwert ist die Summe ueber alle tipps / Anzahl tips = Sum(alle x aus X) / |X| =: m
Die abweichung des mittelwert ist einfach |mittelwert - wirklicher wert| =: M
Die mittlere abweichung der tipps = Sum(|jeder tipp - wirklicher wert|) / anzahl tipps = Sum(|(alle x aus X) - S|) / |X| =: T

Eure these ist jetzt praezise formuliert, dass die abweichung des mittelwerts kleiner als die mittlere abweichung der tipps ist. Anders gesprochen, der Mittelwert ist dichter am wahren wert, als ein durchschnittlicher tipp.

Satz: M < T (genauer <= aber das ist so doppeldeutig bei dem font_

Beweis laeuft ganz einfach ueber Dreiecksungleichung:

M < T
<=> |m - S| < Sum|(alle x aus X) - S| / |X|
<=> |Sum(alle x aus X) / |X| - S| < Sum |(alle x aus X) - S| / |X| ''mal |X|''
<=> |Sum(alle x aus X) - S *|X|| < Sum|(alle x aus X) - S|

Das letzte ist genau Dreiecksungleichung wenn wie S aus dem Betrag der Summanden ziehen, also fuer jedes x ist
| x - S | >= |x| - S
und da wir insgesamt |X| tipps haben, steht dann genau das linke da.


Nochmal an nem beispiel damit es klar wird:

S = 100 ($100 im glas).
|X| = 3 (3 tipps)
X = { 0 , 10, 50 } (die tipps)
M = 20 (Mittelwert)
m = 80 (Abweichung des Mittelwert)
T = (100 + 90 + 50) / 3 = 80 (Mittlere Abweichung der tipps)

Hier ist M = T, weil alle Tipps in die gleiche Richtung falsch lagen.

Nun so, dass bei der Dreieckungleichung das < und nicht das = eintritt

X = {0 , 40, 200}
M = 80
m = 20
T = (100 + 60 + 100) / 3 = 86

hier ist T > M, da einige tipps ueber dem wirklichen wert lagen und einige darunter.


Das heisst fuer die These jetzt, dass sie stimmt, wenn die Tipps vermutlich um den wirklichen Wert streuen. Heisst es raten nciht alle zu wenig oder zu viel. Basically this:
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Originally Posted by lejean80 View Post
Die Voraussetzung ist natürlich, dass das Geld einigermaßen "homogen" im Gefäß verteilt ist, d.h. sich nicht irgendwo eine versteckte $100-Münze oder eine Ansammlung anderer großer Münzen befindet, die man von der Vorderseite nicht sieht.
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Originally Posted by GrmBl3 View Post
Und natürlich, je mehr Leute was zum Mittelwert beitragen, desto weiter nähert sich der Schätzwert dem Realwert an. Sinnvolles und ernstgemeintes Schätzen vorrausgesetzt.
Nun wissen wirs genau: Um so mehr leute verschieden falsch, dh zu hoch und zu niedrig schaetzen, um so besser ist der Mittelwert am Realwert dran als ein einzelner Tipp.
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Originally Posted by lejean80 View Post
Es ist aber ziemlich einleuchtend, dass es stimmen muss. Es ist ja wie mit jeder physikalischen Messung: Je öfters man misst, umso mehr nähert sich der Mittelwert dem tatsächlichen Wert an (Vorraussetzung: Man macht keinen systematischen Fehler, d.h. benutzt kein kaputtes Messgerät oder wiegt die Verpackung mit, etc.). Das Geld zu schätzen ist ja im Prinzip nichts anderes als eine physikalische Messung ... man zählt ein paar Münzen, schätzt Länge, Breite und Höhe des Gefässes ab und rechnet irgendwas. Dabei macht man gewöhnlich kleine, mittlere und große Fehler, die zufällig nach oben oder unten vom wahren Wert abweichen. Da diese Fehler aber zufällig und nicht systematisch sind, kürzt sich das bei vielen Leuten einfach raus.

Im Internet habe ich leider nichts dazu gefunden, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass 10.000 vernünftig schätzende Leute (die nicht einfach nur ihre Lieblingszahl schätzen) als Mittelwert mit einer Genauigkeit von 98% den wahren Wert schätzen.
Nein! Der Mittelwer muss absolut NICHT RICHTIG sein. nicht 98%, nicht wie physikalische Messung. Das einzige was ist, ist dass der Mittelwert (wohl idR wesentlich) dichter am wahren Wert liegt, als ein zufaelliger Tipp. Es kann aber trotzdem der Mittelwert doppelt so hoch wie der wahre wert sein, nur ist dann der durchschnittliche tipp villeicht sogar dreimal so gross wie der wahre wert.



okok viel text eigentlich ganz einfach^^

cliff notes: flasch schaetzen in beide Richtungen loescht sich beim Mittelwert raus, daher ist der mittelwert dichter am realwert als eine durschnittliche Schaetzung.
__________________

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Old Jul 15, 2009, 8:42pm   #22
lejean80
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Originally Posted by BubbleBoy View Post
Nein! Der Mittelwer muss absolut NICHT RICHTIG sein. nicht 98%, nicht wie physikalische Messung. Das einzige was ist, ist dass der Mittelwert (wohl idR wesentlich) dichter am wahren Wert liegt, als ein zufaelliger Tipp. Es kann aber trotzdem der Mittelwert doppelt so hoch wie der wahre wert sein, nur ist dann der durchschnittliche tipp villeicht sogar dreimal so gross wie der wahre wert.
1. Wenn der durchschnittliche Tip dreimal so groß ist wie der Mittelwert, dann kann er Mittelwert nicht doppelt so groß sein (Durchschnitt = Mittelwert).

2. Worin besteht Deiner Meinung nach der prinzipielle Unterschied zwischen einem Tip über die Anzahl der Münzen im Glas und einer physikalischen Messung? Gewagte, aber meiner Meinung nach richtige Behauptung: Es gibt keinen Unterschied.

3. Ich würde mittlerweile sogar behaupten, dass - vorrausgesetzt die Münzen sind homogen verteilt - noch weniger Leute nötig sind um den Mittelwert exakt (99%) zu "erraten". Die Genauigkeit in Abhängigkeit der Anzahl abgegebener Tips müsste eine Wurzelfunktion sein.

Studierst Du eigentlich Informatik?

Last edited by lejean80; Jul 15, 2009 at 8:46pm.
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Old Jul 15, 2009, 9:32pm   #23
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Originally Posted by lejean80 View Post
1. Wenn der durchschnittliche Tip dreimal so groß ist wie der Mittelwert, dann kann er Mittelwert nicht doppelt so groß sein (Durchschnitt = Mittelwert).

2. Worin besteht Deiner Meinung nach der prinzipielle Unterschied zwischen einem Tip über die Anzahl der Münzen im Glas und einer physikalischen Messung? Gewagte, aber meiner Meinung nach richtige Behauptung: Es gibt keinen Unterschied.

3. Ich würde mittlerweile sogar behaupten, dass - vorrausgesetzt die Münzen sind homogen verteilt - noch weniger Leute nötig sind um den Mittelwert exakt (99%) zu "erraten". Die Genauigkeit in Abhängigkeit der Anzahl abgegebener Tips müsste eine Wurzelfunktion sein.

Studierst Du eigentlich Informatik?
1. Ich glaube er wollte eher sagen, dass es sein kann, dass der Mittelwert um 20% vom richtigen wert abweichen kann, aber dass dann jeder durchschnittliche Tipper um 30% falsch lag.

2. Ich denke auch nicht, dass es einen Grundsätzlichen Unterschied gibt. Aber die Tipps müssen ja nicht um den Mittelwert liegen. Ist bei einer Physikalischen Messung auch nicht anders. Wenn du z.B. Lichtgeschwindigkeit messen willst, misst man Hauptsächlich nur Reaktionszeiten (bei einfachen Versuchen). Diese Werte liegen auch nicht um den wahren Wert. In dem Fall mit dem Geld im Glas könnte es sein, dass es viel mehr ist, als es eigentlich aussieht oder andersherum => die Tipps liegen nicht um den Mittelwert

3. siehe 2.
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Old Jul 15, 2009, 9:51pm   #24
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Originally Posted by User Name View Post
1. Ich glaube er wollte eher sagen, dass es sein kann, dass der Mittelwert um 20% vom richtigen wert abweichen kann, aber dass dann jeder durchschnittliche Tipper um 30% falsch lag.
Okay, dann sehe ich es ein.

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2. Ich denke auch nicht, dass es einen Grundsätzlichen Unterschied gibt. Aber die Tipps müssen ja nicht um den Mittelwert liegen. Ist bei einer Physikalischen Messung auch nicht anders. Wenn du z.B. Lichtgeschwindigkeit messen willst, misst man Hauptsächlich nur Reaktionszeiten (bei einfachen Versuchen). Diese Werte liegen auch nicht um den wahren Wert. In dem Fall mit dem Geld im Glas könnte es sein, dass es viel mehr ist, als es eigentlich aussieht oder andersherum => die Tipps liegen nicht um den Mittelwert.
Lichtgeschwindigkeit vielleicht nicht gerade das beste Beispiel. Bei den meisten physikalischen Messungen sind die Einzelmessungen aber schon Normalverteilt und ich sehe keinen Grund, warum das auf das "Abzählen" von Münzen nicht zutreffen sollte.
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Old Jul 15, 2009, 10:30pm   #25
Frufru
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Originally Posted by BubbleBoy View Post
paar schnelle definitionen:

Ein tipp ist das einmalige "raten" einer person.
Die Menge aller tipps sei X.
Der wirkliche wert, dh der wert, der wirklich im glas ist sei S.
Der mittelwert ist die Summe ueber alle tipps / Anzahl tips = Sum(alle x aus X) / |X| =: m
Die abweichung des mittelwert ist einfach |mittelwert - wirklicher wert| =: M
Die mittlere abweichung der tipps = Sum(|jeder tipp - wirklicher wert|) / anzahl tipps = Sum(|(alle x aus X) - S|) / |X| =: T

Eure these ist jetzt praezise formuliert, dass die abweichung des mittelwerts kleiner als die mittlere abweichung der tipps ist. Anders gesprochen, der Mittelwert ist dichter am wahren wert, als ein durchschnittlicher tipp.

Satz: M < T (genauer <= aber das ist so doppeldeutig bei dem font_

Beweis laeuft ganz einfach ueber Dreiecksungleichung:

M < T
<=> |m - S| < Sum|(alle x aus X) - S| / |X|
<=> |Sum(alle x aus X) / |X| - S| < Sum |(alle x aus X) - S| / |X| ''mal |X|''
<=> |Sum(alle x aus X) - S *|X|| < Sum|(alle x aus X) - S|

Das letzte ist genau Dreiecksungleichung wenn wie S aus dem Betrag der Summanden ziehen, also fuer jedes x ist
| x - S | >= |x| - S
und da wir insgesamt |X| tipps haben, steht dann genau das linke da.


Nochmal an nem beispiel damit es klar wird:

S = 100 ($100 im glas).
|X| = 3 (3 tipps)
X = { 0 , 10, 50 } (die tipps)
M = 20 (Mittelwert)
m = 80 (Abweichung des Mittelwert)
T = (100 + 90 + 50) / 3 = 80 (Mittlere Abweichung der tipps)

Hier ist M = T, weil alle Tipps in die gleiche Richtung falsch lagen.

Nun so, dass bei der Dreieckungleichung das < und nicht das = eintritt

X = {0 , 40, 200}
M = 80
m = 20
T = (100 + 60 + 100) / 3 = 86

hier ist T > M, da einige tipps ueber dem wirklichen wert lagen und einige darunter.


Das heisst fuer die These jetzt, dass sie stimmt, wenn die Tipps vermutlich um den wirklichen Wert streuen. Heisst es raten nciht alle zu wenig oder zu viel. Basically this:


Nun wissen wirs genau: Um so mehr leute verschieden falsch, dh zu hoch und zu niedrig schaetzen, um so besser ist der Mittelwert am Realwert dran als ein einzelner Tipp.


Nein! Der Mittelwer muss absolut NICHT RICHTIG sein. nicht 98%, nicht wie physikalische Messung. Das einzige was ist, ist dass der Mittelwert (wohl idR wesentlich) dichter am wahren Wert liegt, als ein zufaelliger Tipp. Es kann aber trotzdem der Mittelwert doppelt so hoch wie der wahre wert sein, nur ist dann der durchschnittliche tipp villeicht sogar dreimal so gross wie der wahre wert.



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Cmon, du bist doch sicher so ein Freak wie der eine, der ganz Rom aus dem Gedächtnis zeichnen kann.
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Old Jul 16, 2009, 2:16am   #26
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Ist einfache Warscheinlichkeit , bzw Statistikberechnung aber ich bin momentan zu voll bzw. ist es schon ein Semeser her um die richtigen mathematischen Formeln richtig wieder zugeben.

Aufjedenfall ist es wie schon voher gesagt, je mehr geschätzte Werte um den genauen Wert liegen, desto näher ist der Mittelwert am Realwert, d.h. je näher das Schätzen ist, desto näher gleicht sich der Schätzwert dem Realwert an.
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Old Jul 16, 2009, 2:31am   #27
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Originally Posted by Frufru View Post
Cmon, du bist doch sicher so ein Freak wie der eine, der ganz Rom aus dem Gedächtnis zeichnen kann.
Du meinst sicher den hier.

Musst ich auch dran denken, als ichs gelesen hatte.
Da könnte mir auch jemand Hieroglyphen zeigen, ich würde genausowenig verstehen. Aber finds interessant.
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Old Jul 16, 2009, 11:06am   #28
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Originally Posted by lejean80 View Post
1. Wenn der durchschnittliche Tip dreimal so groß ist wie der Mittelwert, dann kann er Mittelwert nicht doppelt so groß sein (Durchschnitt = Mittelwert).

ja ok das ginge wirklich nur wenn jemand was negatives geschaetzt haette^^

2. Worin besteht Deiner Meinung nach der prinzipielle Unterschied zwischen einem Tip über die Anzahl der Münzen im Glas und einer physikalischen Messung? Gewagte, aber meiner Meinung nach richtige Behauptung: Es gibt keinen Unterschied.

Die Messung ist prinzipiell richtig. Die Schaetzung kann prinzipiell komplett am echten wert vorbei sein. Kann ja leicht sein dass fast jeder zu viel schaetzt.

3. Ich würde mittlerweile sogar behaupten, dass - vorrausgesetzt die Münzen sind homogen verteilt - noch weniger Leute nötig sind um den Mittelwert exakt (99%) zu "erraten". Die Genauigkeit in Abhängigkeit der Anzahl abgegebener Tips müsste eine Wurzelfunktion sein.

Du meinst falls der Mittelwert tatsaechlich auf dem wahren wert konvergiert, wie viele tipps braucht man dann fuer nen bestimmtes sicherheitsinterval? Na das ist wie bei der poker winrate.. Du hast nen erwartungswert (ptbb/100), und ganz viele tipps (hands), und wartest nur, bis es mal stimmt. Was du zur rechnung brauchst ist deine SD wenn man annimmt das ist normalverteilt, was es aber eh nicht ist..

Studierst Du eigentlich Informatik?
Ach ich duempel irgendwo an der Mathe Fak rum
.
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BubbleBoy est déconnecté   Reply With Quote
Old Jul 16, 2009, 12:34pm   #29
dacult
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Für Faulenzer gibts dieses Fänomen auch regelmäßig im Fernsehen. Wenn nur genügend Leute anrufen, dann ist der geschätzte Mittelwert extrem dicht am echten Ergebnis. Solche Schätz-Aktionen machen diverse Privatsender regelmäßig.

Und, es funktioniert. Der Mittelwert lag immer locker bei über 90 %

Wo wir grad dabei sind, ich wollte schon immer mal wissen, wieviel Fußbälle gleichzeitig in ein Fußballtor passen. Also nicht in den Bereich der Netze hinterm Tor, sondern wieviele Bälle man gleichzeitig durchs Tor schießen kann. Die Größe des Tores weiß man ja. 7,32 x 2,44 Meter. Der Ball hat einen Umfang von 68 bis 70 cm. So, und nu ?
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Old Jul 16, 2009, 12:38pm   #30
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Originally Posted by dacult View Post
ich wollte schon immer mal wissen, wieviel Fußbälle gleichzeitig in ein Fußballtor passen. Also nicht in den Bereich der Netze hinterm Tor, sondern wieviele Bälle man gleichzeitig durchs Tor schießen kann.
Schiesst Kuranyi oder Grafite?
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